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实验4 超越祖冲之
简介
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（公元263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。
南北朝时代的数学家祖冲之（公元429年—公元500年）进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。其中，密率在西方直到公元1573年才由德国人奥托得到，并于1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。
计算机的快速发展使π的精度越来越高，那么怎么通过计算机计算π值呢？在上一个实验当中，N个线段画出了一个圆形，所以可以把这些线段的总长度除以圆的直径，得出π的大小。
使用公式：
π=C /d
其中，C是圆的周长，d是圆的直径。
在支持HTML5的浏览器里运行下面代码：
<canvasid="myCanvas"width="480"height="300"style="border: 1px solid #c3c3c3;">
Your browser does not support the canvas element.
</canvas>
<scripttype="text/javascript">
var c=document.getElementById("myCanvas");
var cxt=c.getContext("2d");
var x=150;
var y=150;
var r=100;
var girth=0;
for (var i=x-r; i < x+r+1; i +=1) {
var tempY1=Math.pow(r * r-(x-i) * (x-i), 1 / 2); \注：这里代表x坐标\
cxt.lineTo(i, y+tempY1);
var tempX=r * r-(x-i+1) * (x-i+1);
var tempY2=Math.pow(r * r-(x-i+1) * (x-i+1), 1 / 2); \注：这里的+1代表下一个x坐标\
var temp=getLengthOfTwoPoint({ x: i-1, y: tempY2 }, { x: i, y: tempY1 });
if (tempX >=0) {
girth +=temp;
}
}
alert("π的是值为："+girth / r)
function getLengthOfTwoPoint(startPoint, endPoint) { \注：用于求两点之间的距离\
var calX=Math.abs(startPoint.x-endPoint.x);
var calY=Math.abs(startPoint.y-endPoint.y);
return Math.pow((calX * calX+calY * calY), 0.5);
}
</script>
上面的计算方法是把半个圆上的每段相邻两点之间的距离求和，然后除以r得出π的值。运行之后发现π的值为：3.1412985671602183，和标准的3.1415926535897932384626433 832795028841971693993751058209749相差甚远。
如何修改上面的代码，提高精确度呢？数学家祖冲之得出了精确到小数点后7位，我们能超过他吗？
因为是用的N条线段模拟圆，只要N越大，就越接近圆。所以可以增大半径r，这样需要的线段越多，求出的π就越接近标准值。将r增大至400000：
var c=document.getElementById("myCanvas");
var cxt=c.getContext("2d");
var x=150;
var y=150;
var r=400000;
var girth=0;
for (var i=x-r; i < x+r+1; i +=1) {
var tempY1=Math.pow(r * r-(x-i) * (x-i), 1 / 2);
cxt.lineTo(i, y+tempY1);
var tempX=r * r-(x-i+1) * (x-i+1);
var tempY2=Math.pow(r * r-(x-i+1) * (x-i+1), 1 / 2);
var temp=getLengthOfTwoPoint({ x: i-1, y: tempY2 }, { x: i, y: tempY1 });
if (tempX >=0) {
girth +=temp;
}
}
alert("π的是值为："+girth / r)
function getLengthOfTwoPoint(startPoint, endPoint) {
var calX=Math.abs(startPoint.x-endPoint.x);
var calY=Math.abs(startPoint.y-endPoint.y);
return Math.pow((calX * calX+calY * calY), 0.5);
}
结果如图1-18所示。
图1-18 计算机计算的π值
可以看到，我们得到的π值小数点后前8位是准确的。