第一篇 理论力学

理论力学包括静力学、运动学和动力学三部分。

静力学研究物体在力系作用下处于平衡的规律。力系是指作用于物体上的一组力；平衡是指物体相对于惯性参考系静止或匀速直线平移的状态，它是机械运动的一种特殊状态。

静力学研究的对象是刚体。刚体是指在力的作用下不变形的物体。实际上，任何物体在力的作用下总要发生变形，对变形很小的物体，把它抽象为刚体来考虑其平衡问题，不会对研究的结果产生太大的影响，但却能大大降低问题的复杂程度；对变形大的物体，当它处于平衡时，可以用刚化公理转化为刚体来研究，因此刚体模型有很广泛的实用背景。

静力学有两个基本问题：一是力系的简化，它是指用简单的力系等效地代替复杂的力系；这里的等效是指两个力系作用在物体上的力学效果一样，或规定的力学度量一样；二是力系的平衡，它是指通过力系简化，找出力系作用于物体上而使物体保持平衡的条件，也就是力系的平衡条件。满足平衡条件的力系称为平衡力系。

静力学中介绍的力系简化方法与物体的受力分析也是研究动力学问题的基础。静力学本身也有广泛的工程应用背景，如在工程结构和零件的设计中，必须先进行静力学计算，然后以此为基础进行强度、刚度和稳定性等计算。

运动学研究物体在空间的位置随时间变化的特性，如物体的运动描述、运动学量的确定等，它不涉及引起物体运动的原因。

在运动学中，研究对象是两个理想化模型：质点和刚体。质点是指体积无限小、有质量的点；刚体是指由无限多个质点构成的有限大小的不变形的物体，即刚体上的任意两点的距离始终保持不变。运动学的内容包含点的运动学和刚体运动学两部分。

运动学对物体运动特性的研究及静力学对力系特性的研究是动力学研究力与物体运动关系的基础，但运动学本身也可以直接应用于工程实际中。在机械设计中，对机构的运动分析已发展成为机构运动学。在力学的发展史上，正是机构学的研究丰富了运动学的内容，促进了机构学这个学科的形成。

动力学是以牛顿三定律为基础建立起来的，属于经典动力学。它研究物体受力与物体机械运动的关系，是理论力学的核心内容。静力学和运动学的知识是动力学研究的基础。

动力学的研究对象是质点和质点系，因此动力学的内容包含质点动力学和质点系动力学两部分。先研究一个质点的运动规律，然后将所得结论加以推演，即得到质点系的运动规律。质点系动力学是概括了机械运动中最一般的规律。

达朗贝尔原理利用静力学原理提供了解决受约束物体动力学问题的另一种方法，在工程上得到了广泛应用。动量定理、动量矩定理和动能定理被称为动力学三大普遍定理，是质点动力学解决问题的重要工具。刚体作为一个特殊的质点系，在动力学中占有重要的位置，工程中很多研究对象都可以抽象为刚体模型，本课程将质点系动力学原理的应用主要放在解决刚体的动力学问题上。

第1章 力系的简化

力系的简化是静力学的基础。本章将介绍静力学原理、力系的简化及物体的受力分析。

1.1 静力学原理

1.力的概念

力是物体之间的相互机械作用。这种作用使物体的运动状态发生改变，以及使物体发生变形。力使物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应，而使物体发生变形的效应称为力的内效应。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。它表示使1千克（kg）质量的物体产生1米/秒2（m/s2）的加速度所需的力。

2.静力学原理

静力学是建立在一些基本事实上的，这些事实是人类经过长期的观察和经验的积累而得到的。

力矢量性原理 力是一个定位矢量；力对物体的作用效应决定于三个要素：力的大小、力的方向和力的作用点。

所谓定位矢量，是指矢量的起始点、大小和方向不能变动的矢量。如果矢量的起始点可以沿矢量方向上移动，则称该矢量为滑移矢量或滑动矢量。如果在保持矢量大小、方向不变的条件下矢量的起始点可以任意移动，则称该矢量为自由矢量。数学上的矢量都是自由矢量。

如图1-1所示，力F的作用点为A，它对参考点O的力矩MO定义为

力矩MO的作用点为点O，方向垂直于rOA、F构成的平面，指向服从右手螺旋法则，大小等于rOA、F为边组成的平行四边形的面积。

对力系F1，F2，…，Fn，各力的作用点分别为A1，A2，…，An，该力系对点O的合力矩定义为

力系等效原理 若两个力系对任意给定的点O都给出同样的合力矩，则这两个力系是等效的。

力系等效原理是力系简化的基础。对刚体而言，可以找出一个和原力系等效的简单力系来代替原力系。

例1-1 如图1-2所示的力系，F1=-F2，试求力系对点O的合力矩。

解：力系对点O的合力矩为

即该力系对任一点O的合力矩为零。这样的力系称为零力系。

平衡原理 作用于刚体上的力系使刚体保持平衡的充要条件是：此力系等效于零力系。

平衡原理的充分性是指刚体原处于平衡状态，如果作用于刚体上的力系等效于零力系，则刚体将保持平衡状态；平衡原理的必要性是指如果刚体处于平衡状态，则作用于刚体上的力系等效于零力系。

作用力与反作用力原理 两物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用线相同，分别作用于这两个物体上。这个原理就是牛顿第三定律。此原理对机械作用力成立，对电磁作用力不一定成立。

刚化原理 在已知力作用下保持平衡的变形体，可以将它变成同一形状和大小的刚体而不影响它的平衡。

这个原理建立了刚体的平衡条件和变形体的平衡条件之间的联系。它说明变形体平衡时，作用在其上的力系必须满足把变形体转换成同样形状和大小的刚体（称为刚化）后的平衡条件。

如图1-3所示的橡胶杆，在力系F1、F2作用下平衡，将杆刚化成刚体，则仍平衡。由平衡原理知，力系F1、F2必等效于零力系，因此它们必须大小相等、方向相反、作用线相同。要注意的是，当F1、F2的大小增大时，橡胶杆会进一步伸长，而刚化后的杆不变形，所以刚化只能在变形体处于平衡时应用。

1.2 力系的简化

用最简单的力系等效地代替较复杂的力系称为力系的简化。

1.力的基本性质

性质1 作用于刚体上的力可以将其作用点沿其作用线滑移到刚体内的任一点。

证明：如图1-4所示，F为作用于刚体上点A处的力，现在其作用线上的一点O处加一零力系F′、F″，F′=-F″=F，由力系等效原理，新力系F、F′、F″与原力系等效。

由于F、F″也是零力系，去掉此零力系，所得力F′和原力F等效。此时，力的作用点已移动到了点O。

这个性质称为力的可传性。对刚体而言，力是一个滑移矢量，力的三要素成为大小、方向和作用线。对变形体而言，此性质不成立。

推论 力F的作用点沿其作用线的滑移不改变其对同一点的矩。

性质2 力系F1，F2，…，Fn有共同作用点A，称为力系的合力，则对任一点O有

即共点力系中各力对一点的力矩的矢量和等于该力系的合力对同一点的力矩。此性质称为合力矩定理，也称伐里农定理（VarignonP）定理。

性质3 对于力F，用分解为作用于同一点的共点力系F1，F2，…，Fn，不会改变F对一点的矩。

性质3是性质2的逆命题，当求力F对一点的力矩不方便时，常利用性质3将力F进行合理的分解，然后再求对该点的力矩。

2.力偶的概念

大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力F1、F2组成的力系称为力偶，以（F1，F2）表示，如图1-5所示。两个力所在的平面称为力偶的作用面，两个力之间的距离称为力偶臂。

定理1 力偶对一点O的力矩与点O的选择无关。

对于点O，作一过点O的平面与力F1、F2的作用线垂直，交点分别为A1、A2，如图1-6所示，则力偶（F1，F2）对点O的力矩为

显然，MO与点O的选择无关，大小为力偶中力的大小与力偶臂的乘积，方向垂直于力偶的作用面，指向服从右手螺旋法则。

MO称为力偶矩。定理1说明力偶的力偶矩的作用点可以是空间的任一点，即力偶矩是一个自由矢量。力偶矩常以M或M（F1，F2）表示。

定理2 对于刚体，只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小、方向和力偶臂的长短，或平行移动力偶的作用面，所得的力偶与原力偶等效。

证明：显然，这些得到的力偶对任一点的力矩与原力偶对该点的力矩相等，由力系等效原理即得结论。

定理3 当力偶矩不为零时，力偶不可能与一个力等效。

证明：用反证法。设力偶（F1，F2）与一个非零力F等效，在F的作用线上取一点，则F对此点的力矩为零，但力偶对此点的力矩不为零，即它们不等效，矛盾说明结论成立。

定理3说明力偶是一个最简单的特殊力系。力偶对物体的作用效果决定于三要素：力偶作用平面、力偶矩的大小和在力偶的作用面内的转向。对刚体而言，力偶的作用效果仅取决于力偶矩的大小和方向。习惯上，常用力偶矩表示力偶，画在力偶的作用面上，如图1-7所示。

3.一般力系的简化

设作用于刚体上的力系为F1，F2，…，Fn，作用点分别为A1，A2，…，An，令

称为力系的主矢。一般情况下，力系的主矢不是力，因为没有作用点。一般力系可按下面方法进行简化。

（1）选择参考点为O，在点O处加上n个零力系，F′1、F″1，F′2、F″2，…，F′n、F″n，使F′1=-F″1=F1，F′2=-F″2=F2，…，F′n=-F″n=Fn，如图1-8所示。所得的新力系和原力系等效，而F′1，F′2，…，F′n为共点力系，（F1，F″1），（F2，F″2），…，（Fn，F″n）构成力偶系；

（2）共点力系的合力为

（3）力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩为

上式称为力系对参考点O的主矩。

由上面三个步骤得到了点O处的一个力FO（其大小、方向等于力系的主矢）和一个力偶矩MO。显然，由力FO和力偶矩MO组成的力系与原力系等效。

定理 空间任意力系向一点O简化必然得到一个力FO和一个力偶矩MO。其中FO=FR，。

当n=1时，上述定理即是力的平移定理。

从简化的过程可以看出，对不同的参考点简化所得的力FO的大小和方向是不变的，但力偶矩MO可能不一样。

不同参考点主矩变换法则 设力系F1，F2，…，Fn的主矢为FR，向参考点O简化，主矩为MO，向参考点O1简化，主矩为，则

证明：力系向点O简化，得到作用点O的一个力FO=FR和一个力偶矩MO，将由FO、MO组成的力系向点O1简化，在点O1处加一个零力系F′O、F″O，使F′O=-F″O=FR，则得到的新力系与原力系等效，如图1-9所示（当力矢量和力偶矩矢量同时出现在一幅图中，为将它们区分开，常用双箭头表示力偶矩）。新力系中，力偶（FO，F″O）的力偶矩为

它和MO合成即为点O1处的主矩，即

简化结果讨论：

（1）当FR=0，MO≠0时，则原力系等效于一个力偶，其力偶矩为

这个力偶称为力系的合力偶。

（2）当FR≠0时，考虑点C

力系向点C简化，则点C的主矩MC为

令

则

①当p=0时，FR⊥MO，MC=0，原力系等效于一个作用线过点C的力FC=FR，FC称为力系的合力。这种情况存在类似的合力矩定理。

②当p≠0时，力系简化为点C的力FC=FR和力偶MC=pFR，它们构成一个力螺旋。当p＞0时，称为右手力螺旋；当p＜0时，称为左手力螺旋，如图1-10所示（双箭头表示力偶矩）。p称为力螺旋参数。力螺旋中力的作用线称为力螺旋的中心轴。

力螺旋也是一个最简单的力系。

在生活和工程实际中存在这样的力系，如紧固螺丝加在螺丝刀上的力系，开煤、打井时加在钻杆上的力系都是力螺旋。

力系中所有力的作用线相互平行，这样的力系称为平行力系。力系中所有力的作用线都在同一平面内，这样的力系称为平面力系。对于平行力系，对任一点O的合力矩MO一定垂直力系中各力的作用线，即MO⊥FR，因此当FR≠0时，平行力系可以简化为一个合力；当FR=0时，平行力系可以简化为一个合力偶。同样，对于平面力系，对任一点O的合力矩MO一定垂直于FR，因此平面力系可以简化为一个合力或一个合力偶。

下面通过建立坐标系，解析表达力系的主矢和对一点的主矩，以便于应用。为此，先介绍力对轴的矩的概念。

如图1-11所示，作用于点A的力F，在垂直于z轴的xy平面上的投影矢量为F x y，原点O到Fxy作用线的距离为h，称为力臂。力F对z轴的矩Mz（F）定义为

上式正负号规定：Fxy绕z轴转动符合右手螺旋法则时取正号：反之，取负号。

从式（1-11）可以看出：力对轴的矩是一个标量，当力的作用线与轴平行（这时F xy=0）或相交（这时h=0）时，力对该轴的矩为零。当力沿其作用线移动时，它对轴的矩不变，因为其投影矢量的大小和方向及力臂并不改变。

对力系F1，F2，…，Fn向点O简化，在点O处建立直角坐标系Oxyz，设Fi={Fix，Fiy，Fiz}和r O A i={xi，yi，zi}（i=1，2，…，n），如图1-12所示，则

即力系主矢在三个直角坐标系轴上的投影分别等于各分力在相应坐标轴上的投影的代数和。

即力Fi对点O的力矩在三个直角坐标系轴上的投影分别等于力Fi对相应坐标轴的矩。

即力系对点O的主矩在三个直角坐标轴上的投影分别等于各分力对相应坐标轴的矩的代数和。

由合力矩定理可知，共点力系中各力对某轴的矩的代数和等于力系的合力对该轴的矩。

1.3 物体的重心

物体重心的位置对物体的平衡或运动状态有着重要影响。如赛车，由于高速行驶，要求重心位置尽量低，这样能保持运动的稳定，不至于翻倒。起重机重心的位置若超出某一范围，受载后就不能保证起重机的平衡。因此，在工程实际中，常要求计算或测定物体的重心位置。

1.平行力系中心

对于平行力系F1，F2，…，Fn，作用点分别为A1，A2，…，An，设力系的主矢，取简化点O，可得力系对点O的主矩MO，由于FR⊥MO，力系可进一步简化为作用线过一点O1上的一个力矢，称这个力即为平行力系的合力。显然，力系对点O1的主矩为

在FR方向上取单位矢e，则Fi=Fie，，

如图1-13所示。

令

上式确定空间一点C，并且

上式表明，即点C也是合力作用线上的一点。由式（1-14）可知，点C仅与平行力系各分力F1，F1，…，Fn的大小和作用点有关，与平行力系的方向无关，并且与参考点O的选择无关。因为若取参考点O′，由式（1-14）确定的点为C′，则

但

如图1-14所示，比较式（5）、（6），得

rC′C=0

即点C′、C重合。称式（1-14）确定的点C为平行力系的中心。

2.物体的重心

在地球表面附近，物体受到重力的作用。把物体分成n个微小部分，每一部分受到的重力大小为ΔGi（i=1，2，…，n），作用点为Ai（i=1，2，…，n），这些重力是一个平行力系，其平行力系的中心为

式中，为物体重力的大小。式（1-15）确定的物体中或其延伸部分上的点C称为物体的重心。由平行力系的中心的性质可知，物体的重心是物体或某延伸部分上的确定点，不因物体在空间位置的变化而改变。

在参考点O上建立直角坐标系Oxyz，rOAi={xi，yi，zi}，rOC={xC，yC，zC}，则

由于Δ Gi=Δ mig，G=mg，其中Δ mi为微小部份的质量，m为物体的质量，由式（1-16）得

式（1-17）确定的点称为物体的质心。

对密度为ρ的均质物体，Δmi=ρΔVi，m=ρV，其中ΔVi为微小部份的体积，V为物体的体积，由式（1-17）得

式（1-18）确定的点称为物体的形心。

显然，在重力场下，物体的重心和质心是重合的，但物体可以无重心，不可无质心。形心是物体的几何属性，当物体均质时，质心和形心重合。

定理1 一个均质物体若存在质量对称面，则重心位于此对称面内。

证明：取均质物体的质量对称面为Oxy平面，对任一重为ΔG的微体，其坐标为（x，y，z），必有其对称的重为ΔG的微体，其坐标为（x，y，-z），因此对这两个微体有zΔG+（-z）ΔG=0，由此可知

上式表明重心在物体的质量对称面上。

定理2 一个均质物体若存在质量对称轴，则重心位于此对称轴上。

证明：以均质物体的质量对称轴作为z轴建立坐标系Oxyz，对任一重为ΔG的微体，其坐标为（x，y，z），必有其对称的重为ΔG的微体，其坐标为（-x，-y，z），因此对这两个微体有

由此可知

xΔG+（-x）ΔG=0，yΔG+（-y）ΔG=0

上两式表明重心在z轴上。

定理3 把物体分成G1，G2，…，Gk，对每一Gi（i=1，2，…，k），其重心位置为（i=1，2，…，k），则物体的重心为

或

证明：把Gi（i=1，2，k）分成ni（i=1，2，…，k）个微体），相应的重力作用点为），则

例1-2 如图1-15所示，试求半圆弧均质金属丝的重心位置。

解：建立坐标系Oxy，由对称性知，重心位置在x轴上，设金属丝的横截面积为A，金属丝的长度为l，则

采用极坐标，，dl=Rdθ，l=πR，得

例1-3 如图1-16所示，试求均质半圆薄板的重心位置。

解：建立坐标系Oxy，由对称性知，重心位置在x轴上，设薄板的厚度为t，面积为A，则

采用极坐标，x=rcosθ（0≤r≤R），dA=rdθdr，

例1-4 试求如图1-17所示图形的形心的位置。

解：建立图示直角坐标系，由图形的对称性，形心位置在x轴上。把图形分成三个矩形，如图1-17所示。

还可以用负面积法来求解上题。图形可以看成一个100×80的矩形与一个面积为负的60×60的矩形叠加而成，因此

例1-5 试求如图1-18所示的三角形分布力系的合力大小及作用点。

解：建立坐标系Oxy，在x处取微段dx，在此微段上的作用力为q（x）dx，其中，分布力可分成若干个这样的力，形成一个同向平行力系，因此存在合力FC，其作用点在x轴上，距y轴为xC。显然

由合力矩定理，对z轴取矩，得

故

如图1-18所示。

对于形状复杂或质量分布不均匀的物体，用式（1-16）或式（1-17）求重心十分困难。工程实际中，往往采用试验方法，如悬挂法、称重法等。

1.4 约束和约束力

对物体空间位置的限制称为约束。约束物体对被约束物体的作用力称为约束力，有时也称为约束反力。

为了便于对物体进行受力分析，常将物体所受的力区分为主动力和约束力。所谓主动力是指那些主动地使物体运动或使物体具有运动趋势的作用力，它们的大小、方向一般都是已知的，如重力、水压力等，有时工程上将主动力称为载荷。约束力是被动未知力，它依赖于主动力、约束的类型及物体的运动状态。下面介绍几种常见约束的约束力。

（1）柔索约束 绳索、链条和皮带等统称为柔索。它们不能伸长，只能受拉力作用。它们只能阻止物体沿其伸长方向的运动，而不能阻止物体沿其缩短方向的运动，这种只限制物体单侧运动的约束称为单侧约束，如图1-19所示。

（2）光滑面约束 忽略了摩擦阻力的接触面称为光滑面。光滑面的约束力的方向沿接触点处的公法线指向被约束物体，如图1-20所示。

（3）光滑铰链约束 这是工程中常见的约束形式。通常有光滑球铰和光滑柱铰两种。

① 光滑球铰 构件端部为圆球，它被约束在球窝里，如图1-21（a）所示。球心相对球窝是固定不动的，构件只能绕球心任意转动。图1-21（b）是光滑球铰的简化符号。由于圆球和球窝的接触点未知，因此约束力的大小、方向都未知，常用三个正交分量Fx、Fy、Fz表示此约束力，如图1-21（b）所示。

② 光滑柱铰 用圆柱形销钉连接两个构件所形成的约束，如图1-22（a）所示。图1-22（b）是其简化符号，称为中间铰链约束。销钉与构件的接触是柱面间的线接触，销钉对构件的约束力是分布的同向平行力系。对构件承受平面外力系的情况，约束力的合力可以用两个正交分量Fx、Fy表示，如图1-22（c）所示。Fx、Fy要通过第2章中介绍的平衡方程求解。当求解的值为正时，表示与所设的指向一致，为负时则与所设指向相反，因此所设的Fx、Fy的指向并不重要。

如果上面两个构件中有一个固连于地面，则称这种约束为光滑固定铰支座约束，如图1-23（a）所示。图1-23（b）是其简化符号，图1-23（c）是构件所受的约束力。

还有一种称为活动铰支座的约束，如图1-24（a）所示，其简化符号如图1-24（b）所示。构件所受的约束力方向垂直于地面，如图1-24（c）所示。

（4）固定端约束 地面对电线杆的约束、墙对插入其内的梁的约束（如图1-25（a））、刀架对固定其上的车刀的约束等都称为固定端约束，这种约束限制构件在约束处的移动和转动，是工程中常见的约束。固定端约束的简化符号如图1-25（b）所示。固定端的约束力比较复杂，是未知的分布力。对平面力系的情况，可以向某指定点简化，得到一个力和一个力偶，这个力可以用两个大小未知的正交分力来表示，如图1-25（c）所示。

（5）二力杆构件 用两个光滑铰链与其他物体连接的构件，且其上不受主动力作用，称为二力杆构件，如图1-26（a）中的杆H G、图1-27（a）中的构件CB。

由于二力杆构件只在两个光滑铰链处受两个力的作用且处于平衡状态，则由平衡原理知，这两个约束力必大小相等、方向相反、作用线相同。图1-26（b）中，F H=FG；图1-27（b）中，FB=FC。

有了二力杆构件的概念，固定铰链约束和活动铰链约束也可以用图1-28（a）、（b）表示。

1.5 物体的受力分析和受力图

对物体进行受力分析是处理静力学和动力学问题的基础，是学习理论力学的基本功。受力分析有以下两个步骤：

（1）取隔离体：根据问题的要求，确定研究对象，然后将它从周围的物体中隔离出来，单独画出它的简图。

（2）画受力图：将隔离体所受到的全部力正确表示出来。

为了使受力图尽量简便，可采用这样的方法：受力图中力的符号用标量符号，只表示力的大小（可以有正负），而力的方向由箭头的指向表示，这样在表示作用力与反作用力时，用一个表示力的大小的符号就可以了。若在受力图上用矢量符号表示力，在有作用力与反作用力的地方就要用两个符号。当结构较复杂时，用的符号也比较多。

例1-6 结构如图1-29所示，试画出各构件的受力图。不计自重和摩擦。

解法1：杆AB为二力杆，曲杆BC也为二力杆，受力图如图1-30所示。

解法2：杆AB、曲杆BC都为二力杆，如图1-31（a）所示。这时还必须考虑销钉B的受力，如图1-31（b）所示，否则受力图是不完整的。

由于二力杆构件在其两端所受到的铰链约束力的作用线都过这两个铰链的中心，所以二力杆的受力只有一个未知量，本课程要求将二力杆的受力沿其作用线画出，不能用两个正交分力表示，以减少平衡方程的个数。

例1-7 如图1-32所示，试分别画出轮O及杆CD的受力图。不计自重和摩擦。

解：轮O的受力图如图1-33（a）所示。

杆CD只存在点E、H处与支承接触，受力图如图1-33（b）所示。

习题

1-1 力对一点的矩与力偶矩有什么异同？

1-2 力系的主矢与力系的合力有什么异同？力系对一点的主矩与力系的合力偶有什么异同？

1-3 什么是最简力系？最简力系有几种？

1-4 任何复杂力系是否都可以用两个大小相等的集中力等效代替？

1-5 一个力系在什么条件下存在合力矩定理？并用语言表述出来。

1-6 在三角形ABC和平行四边形ABCD的顶点上作用有图示的力系，试问它们的最简形式分别是什么？

1-7 重心与质心是否一定重合？形心和质心是否一定重合？

1-8 有人总结物体受力分析最关键的三点：①明确研究对象及内力、外力的概念；②标出外力，即主动力和约束力；③内力不出现在受力分析图上。你认为总结得全面吗？若没有第①点会出现什么情况，试举例说明；若没有第③点会出现什么情况，试举例说明。

1-9 试求下列均质薄板重心的位置。

1-10 图示钢圆柱筒长为1m，内径为0．5m，重为0．75N；筒内灌注混凝土，其重度为23．6kN/m3，为使钢筒与混凝土合在一起的重心最低，试求混凝土的灌注深度h。

1-11 试画出图示各构件的受力图，不计各构件自重和各接触处摩擦。