1.1 信号

所谓信息（Information）是指有待传递、交换、提取或存储的书面或口头内容，对获取者来说，这些内容是预先未知的。但纯粹的信息是无法表达或传递的，它必须以某种形式表现出来才能实现交流与传递，如语言、文字、图像、数据等。一般将语言、文字、图像、数据等以约定方式组成的符号统称为消息（Message）。可见，信息是消息的度量，特指消息中有意义的部分，即“有用的消息”，而消息是信息的表现形式。

为了有效地传递和利用消息，常需将消息转换成便于传输和处理的表达形式，这种表达形式即信号（Signal），它是反映信息或消息的物理量。信号常见的形式如声、光、色、电、力、位移、温度、湿度、速度、加速度等。这些信号的性质各不相同，有些是相互关联的，有些是相互独立的。虽然信号的表现形式多种多样，但是，它们都有一个共同点，即信号所包含的信息总是寄寓于某种变化形式的波形之中。例如，实际情况下，许多物理量值都随时间而变化，若以时间为横坐标，物理量值为纵坐标，便可以得到一种随时间变化的图形，这就是我们所说的信号波形。物理上，信号是信息寄寓变化的形式；数学上，信号可以表示为单个自变量或多个自变量的函数；形态上，信号表现为一种波形。总之，信号是运载与传递信息的载体和工具，通常使用数学函数表示，也用曲线、数据组等来表达。

早期人们研究信号的目的是为了传递消息，为了使消息传送得更远、更快，人们找到了使用电信号传送消息的方法。所谓电信号，通常指随时间而变化的电压或电流，也可以是电荷、磁通或电磁波等。由于电信号使用极为广泛，而且它与非电信号的转换也极为方便，因此，本书将只讨论电信号。

1.1.1 信号的描述及分类

从广义上讲，信号是随时间变化的某种物理量。研究信号的方法是：首先，以数学函数表达式的方式表征该物理量的变化规律；然后，对函数表达式进行分析（如仿真、实验等），提取相应的特征量。本书主要讨论随时间变化的电压或电流信号，该信号通常表示为时间t的函数f（t），因此，“信号”与“函数”这两个名词常常通用。函数f（t）的图像即为信号的图形表示，称为信号的波形。函数表达式与波形是描述信号的两种直观方法，随着问题的深入，还将使用频谱分析或其他正交变换的方法来描述与研究信号。

以信号所具有的时间函数特性来分类，信号可以分为确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号，等等。

除了时间特性，信号具有的频率特性也是非常重要的，在第2章中将要讨论的频谱分析，采用傅里叶分析的方法将复杂信号分解为许多不同频率的正弦分量，每一正弦分量以其幅度与相位表征，形成频谱与频带。信号的频谱和信号的时间函数均包含了信号所携带的全部信息，频谱分析具有信号时间函数特性分析无可比拟的优点，广泛应用在现代信号分析中。

1. 确定信号与随机信号

确定信号是指一个可以表示为确定的时间函数的信号，即在函数的定义域内，指定任一时间值，就可以确定一相应的函数值，如图1.1（a）所示。例如，我们熟知的正弦信号、各种周期性脉冲信号等。

但是，实际的信号常常具有不可预知的不确定性，这类信号称为随机信号。随机信号不可以表示为一个确定的时间函数，当给定某一时间值时，其函数值并不确定，只能知道它取某一值的概率，如图1.1（b）所示。例如，通信信道中的干扰与噪声信号，雷达的目标反射信号等。随机信号的特征是具有“不确定性”或“事先不可预知性”。

除了人为构造的规律信号之外，实际处理与传输的信号都是随机信号。例如，通信系统中传输的信号都是不确定的，一方面是信号传递过程中遭遇的干扰和噪声具有随机性，另一方面，传递的信号本身的不可确定性是通信的意义所在。

但是，从研究信号出发，在一定条件下，可以把在较长时间内比较稳定的信号，近似地作为确定信号来分析，使分析简化，便于工程应用。确定信号是随机信号的一种抽象，只有在研究确定信号的基础上，根据随机信号的统计规律，应用概率、统计的方法和观点，才能把握和利用随机信号，本书只讨论确定信号的分析，在数字信号处理等后续课程中，将以确定信号的分析为基础，根据随机信号的统计规律进一步研究随机信号的特性。

对于确定信号，按其连续性可分为连续信号和离散信号；按其周期性可分为周期性信号和非周期性信号。

2. 连续信号与离散信号

按照时间函数取值的连续性和离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。

连续信号是指在所讨论的时间段内，除有限个不连续点外，其余任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用f（t）表示，如图1.2所示。连续信号的幅值可以是连续的，如图1.2（a）所示，也可以是离散的，如图1.2（b）所示。只要时间变量 t 是连续的信号均可称为连续信号。

与连续信号对应，代表离散信号的时间函数只能定义在一组离散的规定值上，如整数值，而不能在其定义域内取任意值，如图1.3所示。在规定值以外的数值上自变量是没有意义的，此时信号的时间函数没有定义。离散信号的自变量一般都取整数值，这种信号也常以序列相称，通常，将离散信号自变量的取值时刻称为样点，而将离散信号的函数值称为样值。

给出函数值的离散时刻间隔可以是均匀的，也可以是不均匀的。本书讨论均匀间隔的离散信号，通常用f（tk）表示，简写为f（k）（k取整数值，即k=0，± 1，± 2，…）。

如果离散信号的幅值是连续的，则又可取名为抽样信号，如图1.3（a）所示。若离散信号的幅值也被量化为某些规定的离散值，这种信号又称为数字信号，如图1.3（b）所示。在数字通信和计算机系统中传输和处理的就是数字信号。

3. 周期信号与非周期信号

确定信号又分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号就是其变化规律依一定时间间隔周而复始且无始无终的信号，如图1.4（a）所示。时间间隔的最小值称为周期信号的周期T。周期信号的表示式可以写为：

式（1-1）为连续周期信号，式（1-2）为离散周期信号

只要给出周期信号在任一周期内的变化过程，便可知道该信号在任意时刻的数值。周期信号的基本特点有两个，即重复性与无限性。在实际工作中，这样严格的周期信号是不存在的，只要在较长时间内按照某一规律重复变化的信号均可看做周期信号。

如果信号不同时具有重复性和无限性，则为非周期信号，如图1.4（b）所示。实际信号大多是非周期信号。非周期信号也可以看做是周期T趋于无穷大的周期信号。

4. 能量信号与功率信号

按照信号的能量特性或时间信号的可积性可以将信号分为能量信号、功率信号、非能量信号、非功率信号。

如果将信号f（t）看做是随时间变化的电压或电流，f（t）在1Ω 电阻上的瞬时功率为f 2（t）。在时间区间（-∞，+∞）内，信号在1Ω电阻上所消耗的总能量为：

平均功率为：

从式（1-3）和式（1-4）可看出，若信号f（t）的能量E为有限值，平均功率P必为零，无法从平均功率去考察该信号，此信号称为能量有限信号，简称能量信号；若信号f（t）的能量E为无穷大，平均功率P必为有限值，无法从总能量进行考察，此信号称为功率有限信号，简称功率信号；若信号f（t）的能量E和平均功率P均为无穷大，则此信号既非能量信号也非功率信号。一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。

显然，周期信号都是功率信号；而非周期信号可以是能量信号或功率信号，也可以是既非能量信号也非功率信号，这取决于信号的具体函数表达。对于只存在于有限时间内的非周期信号必定为能量信号，它在有限时间范围内有一定的数值，而当t→∞时，信号f（t）→0，如图1.5（a）所示；属于功率信号的非周期信号是持续时间无限而幅度有限的信号，如图1.5（b）所示；持续时间无限，幅度也无限的非周期信号则既非能量信号也非功率信号，如图1.5（c）所示的单位斜坡信号f（t）=t·U（t）。

1.1.2 信号的基本运算与变换

信号在系统中传输与处理的过程就是进行信号变换与运算的过程。信号通过系统各部件时，会进行相应的运算和变换组成，系统的功能部件通常包括加法器、乘法器、放大器、积分器、微分器和延时器等。因此，掌握信号的各种基本运算及其对应的波形变化是非常重要的。

1. 信号的相加与相乘

两个信号相加（相乘）可得到一个新的信号，它在任意时刻的值等于两个信号在该时刻的值之和（积）。信号的相加与相乘运算可通过信号的表达式或信号的波形进行。

信号相加与相乘的框图如图1.6所示。

图1.7所示是一个通信系统模型。在通信系统中，一个无线信道通常就可以看成是一个加法器，通信系统的收端得到的是传输信号与噪声信号的叠加。通信系统的变换器/反变换器在对信号进行的调制、解调及信号的取样过程中，就经常遇到两信号的相乘运算。

2. 信号的微分与积分

信号f（t）的微分是指f（t）对时间t的导数，记为f ′（t），即

从波形上看，信号的微分表示信号值随时间变化的变化率。

信号f（t）的积分是指f（t）在时间区间（-∞，t）内的定积分，记为f（-1）（t），即

从波形上看，信号在f（t）时刻的积分表示在时间区间（-∞，t）内，信号f（t）与时间轴所包围的面积。

图1.8和图1.9分别示出信号微分与积分运算的例子。由这两个例子可见，信号经微分运算后突出显示了它的变化部分，而信号经积分运算后，突变部分可变平滑。

3. 信号的时移

信号f（t）时移± t0（t0 ＞0），就是将f（t）表达式中所有自变量t用t ± t0 替换，成为f（t ± t0）。从波形上看，时移信号f（t+t0）的波形比f（t）的波形在时间上超前t0，即f（t+t0）的波形是f（t）的波形沿时间轴向左移动t0；f（t-t0）的波形比f（t）的波形在时间上滞后t0，即f（t-t0）的波形是f（t）的波形沿时间轴向右移动t0。

图1.10表示一个正弦信号的时移。信号的时移在雷达、声纳和地震信号处理中经常遇到。

4. 信号的反转

信号f（t）的反转，就是将f（t）表达式中的自变量t用-t替换，成为f（-t）。从波形上看，反转信号f（-t）的波形相当于将f（t）的波形以t=0为轴反转180°得到，即f（-t）的波形是f（t）的波形相对于纵轴的镜像。

图1.11示出了一个正弦信号的反转。

5. 信号的尺度变换

信号的尺度变换就是把信号f（t）中的自变量t用at替换，成为f（at）。其中a是正实系数，称为尺度变换系数。信号f（at）的波形是f（t）波形的压缩（a＞1）或扩展（a＜1）。

图1.12给出了一个正弦信号波形的压缩和扩展的例子。

以上讨论的信号变换都是针对自变量t而言的，变换后信号波形的基本形状并没有改变。然而，信号自变量的变化常常是一个综合过程，如把信号f（t）中的自变量t用at+b代替得到信号f（at+b）。普通信号综合变换的一般步骤：

（1）若f（t）变换为f（at+b），则先反转，后展缩，再平移。

（2）若f（at+b）变换为f（t），则先平移，后展缩，再反转。

（3）若f（mt+n）变换为f（at+b），则先将f（mt+n）变换为f（t），再进行f（t）变换为f（at+b）的工作。

例1.1 已知信号f（t）的波形如图1.13所示，试画出f(0.5t-1)和f（-2t+2）的波形。

解：信号变换的过程如图1.14和图1.15所示。