1.3 连续时间信号时域变换与运算

信号在时域中的变换有折叠、时移、展缩、倒相等。信号在时域中的运算有相加、相乘、数乘（幅度变化）、微分、积分等。实际信号的运算也属于相应的变换，只是与数学运算有对应的关系。本节只讨论连续时间信号时域变换与运算，对于离散时间信号的时域变换与运算将在第7章介绍。

1.3.1 信号时域变换

1.折叠

信号的时域折叠就是将信号f（t）的波形以纵轴为轴翻转180°。

设信号f（t）的波形如图1-17（a）所示。将f（t）以纵轴为轴折叠，即得折叠信号f（－t）。折叠信号f（－t）的波形如图1-17（b）所示。可见，若欲求得f（t）的折叠信号f（－t），则必须将f（t）中的t换为－t，同时f（t）定义域中的t也必须换为－t。

信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际意义，但它具有理论意义。

2.时移

信号的时移就是将信号f（t）的波形沿时间轴t左、右平行移动，但波形的形状不变。

设信号f（t）的波形如图1-18（a）所示。将f（t）沿t轴平移t0，即得时移信号f（t－t0），t0为实常数。当t0＞0时，为沿t轴的正方向移动（右移）；当t0＜0时，为沿t轴的负方向移动（左移）。时移信号f（t－t0）的波形如图1-18（b），（c）所示。可见，欲求得f（t）的时移信号f（t－t0），则必须将f（t）中的t换为t－t0，同时f（t）定义域中的t也必须换为t－t0。

信号的时移变换用时移器（也称延时器）实现，如图1-19所示。图中f（t）是延时器的输入信号，y（t）＝f（t－t0）是延时器的输出信号。可见输出信号y（t）较输入信号f（t）延迟了时间t0。

需要指出的是，当t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现的；当t0＜0时，延时器是非因果系统，此时的延时器变成为预测器。延时器与预测器都是信号处理中常见的系统。

3.展缩

信号的时域展缩就是将信号f（t）在时间t轴上展宽或压缩，但纵轴上的值不变。

设信号f（t）的波形如图1-20（a）所示。以变量at置换f（t）中的t，所得信号f（at）即为信号f（t）的展缩信号。其中a为正实常数。若0＜a＜1，则表示将f（t）的波形在时间t轴上展宽到a倍（纵轴上的值不变），如图1-20（b）所示（图中取）；若a＞1，则表示将f（t）的波形在时间t轴上压缩到（纵轴上的值不变），如图1-20（c）所示（图中取a＝2）。

需要注意的是，在用at置换f（t）中的t时，必须同时将f（t）定义域中的t也换为at。

4.倒相

设信号f（t）的波形如图1-21（a）所示。将f（t）的波形以横轴（时间t轴）为轴翻转180°，即得倒相信号－f（t）。倒相信号－f（t）的波形如图1-21（b）所示。可见，信号进行倒相时，横轴（时间t轴）上的值不变，仅是纵轴上的值改变了正负号，正值变成了负值，负值变成了正值。倒相也称反相。

信号的倒相用倒相器来实现，如图1-22所示。图中f（t）为倒相器的输入信号，y（t）＝－f（t）为倒相器的输出信号。

【例1-8】已知信号f（1－2t）的波形如图1-23（a）所示。试画出f（t）的波形。

解：信号f（1-2t）很显然是将信号f（t）经过折叠、时移、展缩三种变换后而得到的，但这三种变换的次序则可以是任意的，故共有六种途径。下面用其中的两种途径求解。

方法一：时移→折叠→展缩

其波形依次如图1-23（b），（c），（d）所示。

方法二：折叠→展缩→时移

其波形依次如图1-23（e），（f），（g）所示。

可见两种途径所得结果完全相同。读者可用其余四种途径再求解之。

1.3.2 时域运算

1.相加

将n个信号f1（t），f2（t），…，fn（t）相加，即得相加信号y（t），即

y（t）＝f1（t）＋f2（t）＋…＋fn（t）n＝1，2，3…

信号的时域相加运算用加法器实现，如图1-24所示。

信号在时域中相加时，横轴（时间t轴）的值不变，仅是与时间t轴的值相对应的纵坐标值相加。两个连续时间信号f1（t）与f2（t）相加后的信号f（t）波形如图1-25所示。

2.相乘

将两个信号f1（t）与f2（t）相乘，即得相乘信号y（t），即

y（t）＝f1（t）f2（t）

信号的时域相乘运算用乘法器实现，如图1-26所示。

信号在时域中相乘时，横轴（时间t轴）的值不变，仅是与时间t轴的值相对应的纵坐标值相乘。两个连续时间信号相乘后的信号波形如图1-27所示。

信号处理系统中的抽样器和调制器，都是实现信号相乘运算功能的系统。乘法器也称调制器。

3.数乘

将信号f（t）乘以实常数a，称为对信号f（t）进行数乘运算，即

y（t）＝af（t）

信号的时域数乘运算用数乘器实现，如图1-28所示。数乘器也称比例器或标量乘法器。

信号的时域数乘运算，实质上就是在对应的横坐标值上将纵坐标的值扩大到a倍（a＞1时为扩大；0＜a＜1时为缩小）。

4.微分

将信号f（t）求一阶导数，称为对信号f（t）进行微分运算，所得信号

称为信号f（t）的微分信号。信号的时域微分运算用微分器实现，如图1-29所示。

需要注意的是，当f（t）中含有间断点时，则f′（t）中在间断点上将有冲激函数存在，其冲激强度为间断点处函数f（t）跳变的幅度值。

5.积分

将信号f（t）在区间（－∞，t）内求一次积分，称为对信号f（t）进行积分运算，所得信号y（t）＝f（τ）dτ称为信号f（t）的积分信号。信号的时域积分运算用积分器实现，如图1-30所示。

【例1-9】已知图1-31（a）所示半波正弦信号f（t）。（1）求f″（t），画出其波形；（2）

求

解：（1）因f（t）＝sint[U（t）－U（t－π）]

故

f′（t）＝cost[U（t）－U（t－π）]

f″（t）＝δ（t）－sint[U（t）－U（t－π）]＋δ（t－π）

f′（t），f″（t）的波形如图1-31（b），（c）所示。

（2）当t＜0时，f（t）＝0，故

当0≤t＜π时，f（t）＝sint，故

当t≥π时，f（t）＝0，故

故

其波形如图1-31（d）所示。

【例1-10】已知信号f（t）的波形如图1-32（a）所示。（1）求积分∫t－∞f（2－τ）dτ，并画出波形；（2）求微分，并画出波形。

解：（1）因f（2－t）＝f[－（t－2）]，故得f（2－t）的波形如图1-32（b）所示。

当t＜0时，f（2－t）＝0，故

当0＜t＜1时，f（2－t）＝1，故

当1＜t＜2时，f（2－t）＝2，故

当t＞2时，f（2－t）＝0，故

故得

其波形如图1-32（c）所示。

（1）因f（6－2t）＝f[－2（t－3）]，故得f（6－2t）的波形如图1-32（d）所示，其函数表达式为

f（6－2t）＝U（t－2）＋U（t－2.5）－2U（t－3）

故得

其波形如图1-32（e）所示。

【例1-11】画出信号f（t）＝（t－1）U（t2－1）和f′（t）的波形，并写出f′（t）的函数式。

解：（t－1）和U（t2－1）的波形分别如图1-33（a）、（b）所示；f（t）＝（t－1）U（t2－1）的波形如图1-33（c）所示；f′（t）的波形则如图1-33（d）所示。故由图1-33（d）可直接写出f′（t）的函数式为

f′（t）＝2δ（t＋1）＋U（t2＋1）＝2δ（t＋1）＋U（t－1）＋U（－t－1）