2.2 带符号二进制数的表示与运算

数分为带符号数和无符号数两种类型。无符号数不分正负，表示无符号数的各二进制数位都是数值位；带符号数有正数和负数之分。在计算机中，用0和1来表示数的正、负。

在计算机中，一个数连同其符号在内的数值化的表示形式称为机器数。一般用最高位表示数的符号。而这个数本身的值称为真值。机器数可以用不同编码方法表示。常用的编码方式有：原码、反码和补码。

2.2.1 带符号二进制数的表示

1.原码

原码表示法规定：最高位是符号位，用0表示正数，用1表示负数。数值部分用该数的二进制绝对值表示。

数x的原码记作[x]原，如机器字长为n，则整数原码的定义如下：

当机器字长n=8时，有

[+0D]原=00000000，[-0D]原=10000000

[+1D]原=00000001，[-1D]原=10000001

[+45D]原=00101101，[-45D]原=10101101

[+127D]原=01111111，[-127D]原=11111111

当机器字长n=16时，有

[+0D]原=0000000000000000，[-0D]原=1000000000000000

[+1D]原=0000000000000001，[-1D]原=1000000000000001

[+45D]原=0000000000101101，[-45D]原=1000000000101101

[+32767D]原=0111111111111111，[-32767D]原=1111111111111111

按照定义，设n为字长，则原码能表示的整数范围是：-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。

例如，8位二进制原码表示的整数范围是：-127D～+127D，16位二进制原码表示的整数范围是：-32767D～+32767D。

原码表示法简单直观，与真值之间的转换方便，但由于符号位不能参与运算，而且对于数0有+0和-0两种表示形式，所以用它进行运算不方便。

2.反码

反码表示法规定：一个正数的反码和原码相同；一个负数的反码的符号位与其原码的符号位相同，其余位通过将其原码的数值部分按位求反得到。

数x的反码记作[x]反，如机器字长为n，则整数反码的定义如下：

当机器字长n=8时，有

[+0D]反=00000000，[-0D]反=11111111

[+1D]反=00000001，[-1D]反=11111110

[+45D]反=00101101，[-45D]反=11010010

[+127D]反=01111111，[-127D]反=10000000

当机器字长n=16时，有

[+0D]反=0000000000000000，[-0D]反=1111111111111111

[+1D]反=0000000000000001，[-1D]反=1111111111111110

[+45D]反=0000000000101101，[-45D]反=1111111111010010

[+32767D]反=0111111111111111，[-32767D]反=1000000000000000

按照定义，设n为字长，则反码能表示的整数范围是：-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。

例如，8位二进制反码表示整数的范围是-127D～+127D，16位二进制反码表示的整数范围是-32767D～+32767D。

反码与原码所能表示的数的范围相同，而且，数0有+0和-0两种表示形式。所以，用反码进行运算也不方便。

将反码还原为真值的方法是：若反码的最高位为0，则该数是正数，其后的数值部分就是其真值；若反码的最高位为1，则该数是负数，将其后的数值部分按位取反后，即可得到真值。

3.补码

补码表示法规定：一个正数的补码和反码、原码相同；一个负数的补码的符号位与其原码的符号位相同，其余位可通过将其反码数值部分加1得到（但有一个负数例外，详见下面的说明）。

数x的补码记作[x]补，如机器字长为n，则整数补码的定义如下：

当机器字长n=8时，有

[+0D]补=00000000，[-0D]补=00000000

[+1D]补=00000001，[-1D]补=11111111

[+45D]补=00101101，[-45D]补=11010011

[+127D]补=01111111，[-127D]补=10000001

按照定义，设n为字长，则补码能表示的整数范围是：-2n-1～+（2n-1-1）。

例如，8位二进制补码表示的整数范围是-128D～+127D，16位二进制补码表示的整数范围是-32768D～+32767D。

补码比原码、反码所能表示的数的范围大，数0的补码只有一种表示形式，是计算机中采用的带符号数的编码方式。

将补码还原为真值的方法是：若补码的最高位为0，则该数是正数，其后的数值部分就是其真值；若反码的最高位为1，则该数是负数，将其后的数值部分按位取反加1后，即可得到真值。

8位二进制数的部分数的原码、反码、补码表见表2-4。

特别注意：-128D没有原码和反码，其补码通过定义式求得。

2.2.2 带符号二进制数的运算

1.补码运算规则

采用补码表示的带符号数，其符号位和数值位同时参与运算，运算结果仍然是补码。任何两数相加，无论正负，只要把它们的补码相加即可。加法运算得到的结果是两数和的补码。任何两数相减，无论正负，只要把减数相反数的补码与被减数的补码相加即可。减法运算结果是两数差的补码。运算公式如下：

[x+y]补=[x]补+[y]补

[x-y]补=[x]补+[-y]补

从上面的公式可以看出，补码的减法运算可以转换成加法来完成的，因此，在计算机中利用加法器就可以实现补码的加法和减法运算。

2.补码运算的溢出问题

由于计算机的字长有限，因此，所能表示的数是有范围的。当运算结果超过这个范围时，运算结果将出错，这种情况称为溢出。产生溢出的原因是：数值的有效位占据了符号位。补码运算溢出的判定有以下两种。

（1）利用符号位判别运算结果是否溢出

• 若两个同号数相加，结果的符号位与之相反，则溢出；
• 若两个异号数相减，结果的符号位与减数相同，则溢出；
• 若两个异号数相加或两个同号数相减，则不溢出。

（2）利用运算过程中的进位产生情况判别运算结果是否溢出

• 若次高位（最高数值位）和最高位（符号位）不同时产生进位或借位，则溢出；
• 若次高位（最高数值位）和最高位（符号位）都产生进位或借位，则不溢出。

【例2-10】 当字长为8位时，计算-64D+64D。

解

本例中，-64D+64D=0，运算结果在8位补码的表示范围：-128D～+127D之内，不会溢出。通过分析运算过程可知，次高位（最高数值位）和最高位（符号位）都产生了进位。这种情况下，运算过程中产生的进位，自然丢失。根据前述的溢出判别规则，可知运算结果不溢出。

【例2-11】 当字长为8位时，计算127D+1D。

解

本例中，127D+1D=128D，运算结果超出8位补码的表示范围：-128D～+127D，所以溢出。通过分析运算过程可知，次高位（最高数值位）产生了进位，而最高位（符号位）没有产生进位。这就使得和的数值部分占用了符号位，运算结果的符号与两个加数的符号相异，即两正数相加得到了一个负数和。根据前述的溢出判定方法，可知运算结果溢出。