1.3 原码、反码、补码

学习目标

1.了解数的定点法和浮点法表示。

2.掌握原码、反码、补码的概念。

3.掌握补码运算的规则。

内容提要

1.定点数和浮点数

计算机中处理的数值型数据，按小数点的处理方法可分为定点数、浮点数。相应的表示方法称为定点法和浮点法。

1）定点数

定点数是指小数点的位置固定不变的数，又称为用定点法表示的数。定点数分为以下两种。

（1）定点整数 规定小数点在最低数值位之后，机器中所能表示的所有数值都是整数。n位二进制所能表示的定点整数的范围是-2n?1~2n?1 。

（2）定点小数 规定小数点在最高数值位和符号位之间，机器中所能表示的所有数值都是小数。n位二进制所能表示的定点小数的范围是?（1-2n?1）~（1-2n?1）。

注意 定点数中小数点的位置是隐含的，不需要写出。定点法表示的缺点是只能表示纯整数或纯小数。

2）浮点数

浮点数是指小数点的位置不是固定的，是可变化的。一般来说，任何一个二进制数N可以表示为：N=2P×S。其中，P为阶码、S为尾数。P或S均有正负，P的正负称为阶码的符号，简称为阶符，S的正负就是N的正负，称为数符；P或S均有大小，即阶码数值、尾数数值。

在字长为M位的计算机中，浮点数如表1-3-1所示。

注意

（1）阶码用定点整数的补码表示，尾数用定点小数的补码表示。

（2）对于某计算机来说，字长M是固定的，那么，L位的多少决定了浮点数的表示范围， （M-2-L）位的多少决定了浮点数的精度；L位数越多可表示的浮点数的范围大，而精度越低，反之则相反。

（3）规格化浮点数要求尾数满足：0.5≤S<1。判断计算机内部一个浮点数是规格化的依据：尾数的最高数值位与符号位相反。

3）定点数与浮点数的比较

（1）在字长 M 相同的情况下，浮点数表示的范围比定点数大，但精度低；定点数表示的范围比浮点数表示的范围小，但精度高。

（2）浮点数运算规则比定点数复杂，对计算机硬件的要求高，需要的设备多。

（3）在微型计算机内部一般采用定点法表示。

2.原码、反码、补码

1）真值与机器数

（1）真值 真值是带有“+”、“-”号的数，真值可以是各种进制。如+10、+1010B、-1101B、-13Q、-DH。

（2）机器数 机器数是将符号数字化后的二进制数，机器数的最高位为符号位，其他各位为数值位。符号位是0表示正数，1表示负数。机器数分为原码、反码与补码。如真值+1010B、-1101B对应的01010B、11101B为机器数。

2）原码、反码、补码

（1）原码 符号位为0表示正数，符号位为1表示负数。真值中符号位数字化后得到的机器数就是原码。

（2）反码 正数的反码与原码相同。负数的反码是在原码基础上，符号位不变，数值位在原码基础上全部按位取反。

（3）补码 正数的补码与反码相同。负数的补码是在反码基础上，符号位不变，数值位在反码基础上+1。

例如，假设字长为8位，写出58、127和-127的原码、反码和补码。

3.补码运算的规则

计算机中的算术运算一般采用补码进行运算，补码的符号位可直接参加运算，运算结果仍为补码。运算规则主要如下。

1）两数之和/差的补码

两数之和差的补码如下所示：

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补

2）求补

求补就是求相反数的补码。已知[X]补，求[-X]补的方法：将[X]补连同符号位全部取反，然后+1就得到[-X]补。如已知-127的补码是10000001，求127的补码是多少？

令X=-127，则[X]补=10000001，所以[-X]补=01111110+1=01111111。

3）溢出

溢出就是计算机运算的结果超出了计算机所能表示的范围。溢出分为上溢和下溢，上溢是指运算结果超出了所能表示的最大数，下溢是指超出所能表示的最小数。

溢出的判断方法主要有两种。方法一：用定义进行判断。方法二：用双符号位进行判断，CS+1和CS分别为进位标志位的最高位与次高位。当CS+1CS相异表示溢出，01为上溢， 10为下溢；当CS+1CS相同，即00或11表示没有溢出。

例题解析

【例1-3-1】（江苏省单招考题2008年） 下列数中最小的数是（ ）。

A.[10010101]原

B.[10010101]反

C.[10010101]补

D.[10010101]2

本题考查的知识点是原码、反码和补码，比较大小。答案A对应的真值是?21D，答案B对应的真值是?106D，答案C对应的真值是?107D。答案D从形式上看，[10010101]2可能是有符号数，也可能是无符号数，如果是有符号数则其真值是?21D，如果是无符号数则真值是149D。

答案 C

拓展与变换 当备选答案中有正数也有负数时，若找出最小数时，可以先排除正数；反之，找出最大数时可以先排除负数。与本题类似的题目：下列数中最大的数是（ ）；下列数中真值与其他数不相等的是（ ）。

【例1-3-2】（江苏省单招考题2010年） 十进制数?48用补码表示为（ ）。

A.10110000

B.11010000

C.11110000

D.11001111

分析 本题考查的知识点是真值转换为补码。令X=?48，则

[X]真=?48D=?0110000B

[X]原=1011000

[X]反=11001111

[X]补=11010000

答案 B

拓展与变换 十进制数?48对应的机器数是10110000，则为（ ）。

A.原码

B.反码

C.补码

D.8421BCD码

【例1-3-3】 无符号二进制数后加上一个0，形成的数是原来的（ ）倍。

A.1

B.2

C.10

D.不确定

分析 在无符号二进制数后加上一个 0，相当于左移一位，形成的数是原来的 2 倍。如X=1110B，在后面加上一个0时Y=11100B。

答案 B

拓展与变换 在十进制数、八进制数、十六进制数后加上一个0，形成的数是原来的多少倍？二进制、十进制数、八进制数或十六进制数最后一位是0，将这个0删除，形成的数是原来的多少倍？

【例 1-3-4】 若浮点数的阶码采用 3 位补码表示，尾数采用 5 位补码表示，则浮点数10110011的阶码、尾数对应的二进制分别是（ ）。

A.-1、-5

B.-3、-0.8125

C.-2、1.1875

D.5、38

分析 本题是考查浮点数表示法：阶码采用定点整数表示，尾数采用定点小数表示。本题中阶码是最左边3位：101，尾数是右边5位：100111。阶码101是定点整数的补码，真值是?3D；尾数10011是定点小数，小数点隐含在数符1的后面，相当于1.0011，则真值是?0.8125D。

答案 B

【例1-3-5】（ ）字长为16位的补码，其所能表示的定点小数最小值为-1。

分析 定点小数的最小值的补码形式为 1.00…0（小数点是隐含的，可以不写出）。无论字长多长，其值的大小都是?1。

答案 对

【例1-3-6】（ ） 江苏省单招考题2009年）在计算机内部为简化电路设计，一般采用补码形式进行数值运算。

分析 计算机中对二进制位取反、+1、移位等运算比较容易实现，补码运算时加法、减法都是通过加法实现的，乘法、除法运算是通过移位实现的，补码的符号位可直接参加运算，运算结果仍为补码。补码运算相比原码运算、反码运算来说，对硬件要求低，可以简化电路设计，容易实现。因此，计算机内部运算一般采用补码进行运算，

答案 对

【例1-3-7】（ ）负数的原码的补码的补码是原码本身。

分析 本题考查的是补码的一个重要特点：负数由原码换算为补码时，符号位不变，数值位“按位取反后再+1”；而负数由补码换算为原码时，同样是符号位不变，数值位“按位取反后再+1”。也就是说，负数的原码与补码互为逆运算，其算法完全相同。这样实现互为逆运算使用同一电路，简化了计算机的硬件设计。

答案 对

【例1-3-8】（江苏省单招考题2013年）已知X和Y均为8位定点整数，且X的真值是-157D，Y的真值为+72H，则[X+Y]补= B。

分析 令X=?157D，Y=+72H=114D，补码表示8位定点整数的范围是-128~127，则[X]补=溢出，[Y]补=01110010。

答案 溢出

【例1-3-9】 （江苏省单招考题2009年） 已知[X]补=01110111B，[Y]补=01100010B，则[X-Y]补=________________。

分析 本题考查重点是补码运算。根据[Y]补=01100010，可得[?Y]补=10011110，则

CS+1CS=11，没有溢出；[1]丢失

答案 00010101B

【例1-3-10】已知-1的补码是11111111，-127的补码是10000001，则-128的补码是______。

分析 本题考查的重点是补码运算。根据：[-128]补= [-1+（-127）]补=[-1]补+[-127]补，而[-1]补=11111111，[-127]补=10000001，则

CS+1CS=11，没有溢出；将[1]丢失。得到[?128]补=10000000。

答案 10000000

【例1-3-11】7A7685BH的16倍是______H。

分析 本题的重点是考查对数制的理解。二进制数左移1位后所得的数是原来的2倍，同样，八进制数左移1位后所得的数是原来的8倍，而十六进制数左移1位后所得的数是原来的16倍。

答案 7A7685B0

拓展与变换 7A7685BH除以16倍，其余数是______B。

巩固练习

一、单项选择题

1.（江苏省单招考题2012年）8位补码表示的定点整数范围是（ ）。

A.-128~+128

B.-128~+127

C.-127~+128

D.-127~+127

2. 下列四个无符号十进制数中，能用八位二进制数表示的是（ ）。

A.296

B.333

C.256

D.199

3. 定点数作补码加减运算时，其符号位是（ ）。

A.与数位分开进行运算

B.与数位一起参与运算

C.符号位单独作加减运算

D.两数符号位作异或运算

4. 对于二进制码10000000，若其值为?128，则它的表示是用（ ）。

A.原码

B.反码

C.补码

D.阶码

5. 已知两数 X=-1101001B，Y=-1011011B，用补码进行加法运算后结果是下列情况（ ）。

A.有进位

B.有溢出

C.无溢出

D.以上都不对

6. 在机器数中，零的表示形式是唯一的是（ ）。

A.原码

B.补码

C.反码

D.反码和原码

7. 已知[X]补=11101011，[Y]补=01001010，[X-Y]补=（ ）。

A.10100001

B.11011111

C.10100000

D.溢出

二、判断题

8.（ ）（江苏省单招考题2013年）设X是字长为n的定点整数，则X的模为2n?1。

9.（ ）（江苏省单招考题 2011 年）在计算机字长范围内，正数的原码、反码和补码相同。

10.（ ）计算机内部只能使用二进制、八进制或十六进制。

11.（ ）十进制数-113的8位二进制补码是10001110。

12.（ ）不论正数还是负数，原码补码的补码还是原码。

三、填空题

13.如果字长为8位，则+1、-1、+0和-0四个数的补码依次是______、 ______、______ 和______。

14.（江苏省单招考题2011年） 已知X、Y为两个带符号的定点整数，它们的补码为[X]补=00010011B，[Y]补=11111001B，则[X+Y]补 =______B。

15.（江苏省单招考题2010年B）已知[X]补=11111111，X对应的真值是________ 。

16.（江苏省单招考题2012年）已知[X]补=10000000，则X=________B。

17.已知[X]补=010011B，则[-2X]补 =_________B。

18.用两个字节表示一个非负整数，则可以表示的数的范围，最小的一个是0，最大的一个是________________ H。

19.码值80H：若表示真值0，则为________________；若表示-128，则为________________码。

20.十进制数-75用二进制数10110101表示，其表示方式是________________。

21.8 位二进制补码 00011001 的十进制数是________________，而 8 位二进制补码 10011001的十进制数是________________。

22.一个含有6个“1”、2个“0”的八位二进制整数原码，可表示的最大数为________________。（用十六进制表示）