2.5 梁类零件的平面弯曲

精密机械中的轴系结构是应用相当广泛的一种结构，其设计的好坏直接影响系统的精度，也可以理解为梁类支撑结构，因此有必要了解梁类零件的弯曲问题。

2.5.1 梁类零件的类型

机械结构中最常遇到的弯曲形式是平面弯曲，其特点是：杆件是直杆或曲率不大的杆，其截面至少有一个对称轴线（见图2-19（a）），外力或外力偶矩作用在杆件的纵对称面内（见图2-19（b））。杆件变形后，它的轴线在纵对称面内成一条平面曲线。工程上对于受力后产生弯曲变形的杆，一般称为梁。截面大小不变，轴线为直线的梁称为等直梁。下面主要讨论等直梁的平面弯曲。

根据梁的支撑情况，梁的基本类型有3种（见图2-20）：

简支梁——一端为固定的铰链支座，另一端是活动的铰链支座（见图2-20（a））。

悬臂梁——一端固定，一端自由（见图2-20（b））。

外伸梁——用一个固定铰链支座和一个活动铰链支座支撑，不过梁的一端或两端是外伸的（见图2-20（c））。

固定铰链支座允许梁的支撑截面绕支座的铰链轴转动，但不允许该支撑端有移动。支座对于梁具有水平和垂直两个支反力，如图2-20（a）中的A点和图2-20（c）中的A点。

活动铰链支座在允许梁的支撑截面绕支座的铰链轴转动的同时，还可以在相应的方向上有自由的移动。支座对于梁只有经过铰链中心并垂直于梁的轴线方向的一个支反力，如图2-20（a）中的B点和图2-20（c）中的B点所示。

固定支座不允许梁的固定端在力作用的平面上有任何移动和转动。支座对于梁除具有水平与垂直两个支反力外，还有一个阻止其固定端截面转动的反力偶，如图2-20（b）所示。

2.5.2 梁类零件弯曲时的内力与应力

1.弯曲时的内力

以吊车横梁为例分析梁弯曲时的内力如图2-21（a）所示。梁的约束可看作一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座（见图2-21（b））。如梁的跨度为l=5m，负荷为P=9800N，距梁左端支撑点A的距离a=3m。画出支反力后，得到吊车横梁计算简图（见图2-21（c））。

首先根据平衡方程式求出支反力：

由∑Px=0， 知HA=0；

由∑Py=0， 知RA+RB-P=0； 得RA=P-RB；

由∑MA=0， 知RBl-Pa=0； 得RB=Pa/l。

将P、a、l的数值代入后解得RA=3920N，RB=5880N。然后运用截面法，求梁任意横截面上的内力。如果求距左端支撑点A的距离为x（x＜a）处的内力，则在该处假想用截面m-m将梁垂直于轴线截面一分为二（见图2-22），取左段为分离体。根据平衡条件，由∑Px=0，知横截面上没有垂直于横截面的轴力；由∑Py=0，知横截面上有与RA大小相等、方向相反的内力Q，这个力平行于截面，其作用是使梁各截面相互滑移，故其性质为剪力。由∑MO'=0，知横截面上存在以截面形心O′为矩心的力矩M=RAx，方向是顺时针。要平衡这个力矩，则在横截面上必有与上述力矩大小相等、方向相反即逆时针方向的力偶矩存在。这个力偶矩就是存在于梁内部使之产生弯曲的内力，称为弯矩。为了便于分析弯矩的变化规律，规定凡外力使梁凸向下的弯矩为正；反之，为负（见图2-23）。

一般来说，梁不同横截面上的内力是不相等的。假设材料质地均匀，而且是等截面的，梁的破坏将发生在内力最大的截面上，此截面称为危险截面。危险截面是根据弯矩在不同截面上的变化规律来确定的。

根据前面的叙述可知，截面上弯矩的大小等于截面一侧所有外力以该截面形心为矩心的力矩的代数和，这样就可以直接写出任意截面的弯矩方程（见图2-24（a））。

OC段的弯矩方程为M=RAx

CB段的弯矩方程为m=RAx-P（x-a）

由以上两式可知，弯矩M是截面位置x的一次函数，故在集中力作用下弯矩M呈直线变化。根据弯矩方程画出的图形称为弯矩图。

对于弯矩方程M=RAx，当x=0时，M=0；当x=3m时，M=3920×3 11760N·m。

对于弯矩方程M=RAx-P（x-a），当x=3m时，M=3920×3-9880×（3-3）=11760N·m；当x=l=5m时，M=3920×5-9800×（5-3）=0。

取xOM坐标系（见图2-24（b）），在x轴上的O、C、B点分别沿M轴方向量取上述求得的M值，得O、D、B点。将各顶点连以直线，即得到弯矩图。从上述弯矩图中看出，两端支撑处弯矩为零，集中负荷作用处弯矩最大，且弯矩图有转折。由于杆件是等截面的，所以在集中负荷作用处的横截面，即为危险截面，其最大弯矩Mmax=11760N·m。

2.弯曲时的应力

取一矩形截面纯弯曲梁段进行研究。加载前，在梁表面画上纵横直线，如图2-25（a）所示。梁受弯变形后，可观察到如下现象：①横向直线变形后仍为直线，只是各横向线间存在相对转动，但仍与变形后的纵向线正交；②纵向线都变为弧线，位于中间位置的纵向线长度不变，靠底面的纵向线伸长，而靠顶面的纵向线却缩短。

根据上述现象，作出如下假设：①平面假设——梁变形后的横截面仍保持平面，且与变形后的梁轴线正交；②纵向纤维无挤压假设——纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩变形。根据平面假设，纯弯曲梁段变形后各横截面仍与各纵向线正交，即梁的纵向、横向截面上无切应变，故无剪应力。弯曲后，存在纵向纤维的伸长区和缩短区，由于变形的连续性，从伸长区到缩短区中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，即中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴（见图2-26（a））。

总之，梁在纯弯曲时各横截面仍保持为平面并绕中性轴作相对转动，各纵向纤维处于拉压受力状态。

在图2-25的梁上取出两个横截面m-m和n-n之间的微段，设其弯曲长度为dx，弯曲后状态如图2-26所示。以截面对称轴为y轴，以中性轴为z轴。

现在先求距中性轴高度为y处某点K的纵向线应变。设该微段（见图2-26（b））中性层纤维弯曲后的曲率半径为ρ，微段两端截面相对转角为dθ，则K点所在纵向纤维弯曲后的长度为

变形前的长度为dx，由于中性层上的纤维O1O2弯曲变形后无变化，则

根据单向受力状态的胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，横截面上距中性轴y处的正应力

式（2-18）表明：横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。

由于中性轴的位置及中性层的曲率半径尚待确定，式（2-18）仍不能计算正应力的大小，还要用梁段的静力学关系才能解决。在图2-27（a）所示梁段的左侧横截面坐标为（y， z）处取一微面积dA，其上只有正应力σ，则横截面上法向内力元素dAσ构成了空间平衡力系，因此只可能组成3个内力分量，即

由于研究的是纯弯曲状态，故由静力学关系可知轴力N和弯矩My均为零，在横截面上只有Mz存在。于是

将式（2-18）代入式（2-19），得

要满足式（2-22），由于不等于零，故必有Sz=0。由截面的几何性质可知，当z轴通过截面形心时，则Sz=0。由此可见，中性轴不但垂直于纵对称平面，而且通过截面形心，这样就确定了中心轴的位置。

将式（2-18）代入式（2-20），得

因为y轴是对称轴，必有Iyz=0，式（2-20）是自动满足的。

将式（2-18）代入式（2-21），得

其中，是截面对中性轴z的惯性矩，是与横截面尺寸、形状有关的几何量。因而

这是研究梁弯曲变形的基本公式。由此可见，在相同弯矩下，EIz值越大，梁的弯曲程度就越小，所以EIz称为梁的抗弯刚度。

把式（2-23）代入式（2-18），即得等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式为

式中：M为横截面上的弯矩；Iz为横截面对中性轴z的惯性矩；y为所求应力的点到中性轴z的距离。

式（2-24）是由矩形截面梁在纯弯曲情况下推导出来的，也适合对称于y轴的其他截面形状的梁，如圆形截面、工字形截面和T形截面梁等。

梁处于横向弯曲状态时，其最大正应力将发生在内力弯矩绝对值最大的截面上下边缘处，其值为

令Wz=Iz/ymax，则上式写成

式中：Wz称为梁的抗弯截面模量，单位为m3或mm3，是与横截面尺寸、形状有关的几何量。

2.5.3 梁类零件弯曲的强度计算

对于受弯曲的梁类零件，为了保证其安全工作，危险截面上的最大弯曲应力应小于等于材料的许用弯曲应力[σ]，故弯曲强度条件为

对于抗拉与抗压强度不同的材料，则应按照抗拉和抗压分别建立强度条件，即

利用弯曲正应力强度条件可以解决三类弯曲强度计算问题：强度校核，截面设计，确定最大承受载荷。

【例2-7】螺栓压板加紧装置如图2-28所示。已知板长3a=150mm，压板材料的许用弯曲应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件的最大允许压紧力P。

解：压板可简化为如图2-28（b）所示的外伸梁。由梁的外伸部分BC可以求得截面B的弯矩MB=Pa。此外，A、C两截面上弯矩等于零，从而作弯矩图如图2-28（c）所示。最大弯矩在截面B上，且Mmax=MB=Pa，根据截面B的尺寸，求出

由强度条件，得

所以根据压板强度，最大压紧力不应超过3kN。