1.3 经济社会系统中常用的现代控制理论

由于经济社会系统规模庞大、结构复杂、地理位置分散，不仅造成系统内部各部分之间通信困难，通信成本高，系统的可靠性降低，而且也牵动着其他社会问题，所以要想维持经济社会的正常运转就必须对系统进行控制。自从1948年诺伯特·维纳发表了著名的《控制论——关于在动物和机器中控制和通信的科学》一书以来，控制论的思想和方法已经渗透进几乎所有的自然科学和社会科学领域。关于控制论的定义，至今并没有一个公认的、比较完善的表述。科学家们从不同的角度对控制论进行了定义，这里介绍两个比较常用的定义。维纳的定义是，控制论“是研究动物（包括人类）和机器内部的控制与通信的一般规律的学科，着重于研究过程中的数学关系”；我国著名科学家钱学森对控制论的定义是“控制论是研究系统各个部分如何进行组织，以便实现系统的稳定和有目的的行动”。

控制论的发展大致可以划分为以下三个阶段。

第一阶段是20世纪50年代末以前的经典控制论阶段，它主要使用黑箱理论，即以传递函数为工具研究单输入、单输出线性定常系统的一般分析与控制规律。经典控制论主要的贡献在于建立了系统、信息、反馈、调节、稳定等控制论的基本概念和分析方法，但它能够处理的系统非常有限。

第二阶段是50年代末至70年代初的现代控制论阶段，它是在经典控制论的基础上发展起来的，主要使用最优控制理论，即引入状态、状态变量、状态方程和状态空间的概念，根据系统的目标函数和性能指标要求解决多输入、多输出时变非线性等更为复杂的系统的最优控制问题。

第三阶段是70年代初以后的大系统理论阶段，标志着控制理论的日趋成熟。它主要运用了分解原理、分散最优控制、大系统模型降价、李亚普诺夫稳定性等动态最优控制理论。大系统理论仍处在不断发展和完善之中。

现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年将其应用于控制过程。他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。1960—1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，这样就有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，并且把控制理论的研究范围扩大，包括更为复杂的控制问题。几乎在同一时期，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论的两个最基本的概念。到20世纪60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。

现代控制理论的研究对象是多输入、多输出系统的非线性控制系统，其中重点研究的对象是最优控制、随机控制和自适应控制，主要应用于机组自动化和生物系统。而大系统理论的主要研究对象是众多因素复杂的控制系统，如宏观经济系统、资源分配系统、生态和环境系统、能源系统等，其研究的重点是大系统的多级递阶控制、分解-协调原理、分散最优控制和大系统模型降阶理论等。

现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要有线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和系统辨识理论。

1.3.1 线性系统理论概述

1.线性系统

线性（Linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性（Non-linear）则指量与量之间不按比例、不成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数不为常数。

如图1-3所示，线性系统可以定义为接受一个输入，并产生相应输出的任何实体，线性系统是一类满足线性特性的数学模型，是由线性运算子组成的系统。与非线性系统相比较，线性系统的特性比较简单。假设x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，若x1(t)+ x2(t)→y1(t)+y2(t)，即状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理，则称此系统为线性系统。线性系统的状态变量（或输出变量）与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为线性系统的数学模型。显然，对于线性系统，若x1(t)→y1(t)，则有ax1(t)→ay1(t)，其中a是有理数。

由于线性系统较容易处理，所以许多时候会将一些系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论中，信号处理及电信上，如无线通信信号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

2.线性系统理论

顾名思义，线性系统理论的研究对象为线性系统，是将实际系统理想化了的模型，可用线性微分方程或差分方程来描述。它通常研究动态系统，能够对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。与古典控制理论比较，状态空间法是在把握控制系统的动力学本质（内在特性）的基础上进行的合理设计。由于控制性能指标是明确的，所以该方法可以得到最佳设计，但其缺点是需要知道描述控制系统全体的数学模型（缺一不可），难以利用人们的经验，直观性差。

线性系统理论的主要任务是研究线性系统状态的运动规律和改变这个运动规律的可能性和方法；建立系统结构、参数、行为和性能之间的确定的和定量的关系。

按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成以下三个学派。

（1）基于几何概念和方法的几何理论，其应用的数学工具是几何形式的线性代数，具有不用矩阵运算、简捷明了的优点。该学派的代表人物是W.M.旺纳姆。

（2）基于抽象代数方法的代数理论，这种方法把系统的各组变量间的关系看成某些代数结构之间的映射关系，具有形式化和抽象化的优点，能将问题变为纯粹的代数问题。该学派的代表人物是美国学者R.E.卡尔曼，他首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。

（3）基于复变量方法的频域理论，这种理论以状态空间法为基础，采用频率域的系统描述和频率域的计算方法来分析和综合线性定常系统。该学派的代表人物是H.H.罗森布罗克。

随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题开始受到普遍的重视。与经典线性控制理论相比，现代线性系统的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入、单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主，而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。

经济数学中使用的线性理论基础有矩阵、向量、特征值、集合，最常见的模型解法为单纯形法、表上作业法、图解法、矩阵法等。投入产出模型就是线性数学用于经济模型的典型案例。

1.3.2 非线性系统理论概述

1.非线性系统

线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。同时，非线性系统的稳定性不仅取决于系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件及外加输入有关系。

实际的控制系统存在大量的非线性因素，这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响，因此研究非线性系统能够帮助人们更好地理解控制系统。

2.非线性系统理论

非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，这类现象不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是它们包含频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。非线性系统的一个最重要的特性是不能采用叠加原理来进行分析，这就决定了其在研究上的复杂性。另外，非线性系统理论远不如线性系统理论成熟和完整。由于数学处理上的困难，所以至今还没有一种通用的方法可用来处理所有类型的非线性系统。

非线性系统的分析和综合理论尚不完善。其研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。自20世纪70年代中期以来，由微分几何理论得出的某些方法给分析某些类型的非线性系统提供了有力的理论工具。严格来说，现实中的一切系统都是非线性系统，线性系统只是为了数学处理上的简化而导出的一种理想化的模型。

常见的非线性经济模型有非线性自回归和回归模型、平滑转换回归模型、双线性模型、非线性移动平均模型、异方差和随机系数模型、长记忆模型。建立模型时，一般使用拉格拉日乘数法对其进行检验。

自20世纪60年代以来，非线性系统理论的发展进入了一个新阶段。对分岔现象和混沌现象的研究已成为非线性系统理论中很受重视的一个方向。突变理论、耗散结构理论和协同理论这些也以非线性系统为研究对象的新兴学科相继出现，它们的方法和结果将对非线性系统理论乃至整个系统科学产生重要影响。此外，随着微分几何方法（特别是微分流形理论）引入非线性系统的研究并得到了某些有意义的结果，非线性泛函分析、奇异摄动方法和大范围分析等现代数学分支也已开始用于非线性系统理论的研究。

1.3.3 最优控制理论概述

1.最优化方法

最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动，其目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。最优化方法可解释为用来改进某些数量值的方法，因此“最优”一词可以从相对的意义上来理解。在实际生活中，这些数量值可以是经济效益、速度、温度、一项对策的支付收益、武器的破坏力等。实际上，最优这一概念是无处不在的，因此作为达到最优的一种手段的最优化方法，应该是而且确实也是变化无穷的。运筹学中所处理的问题绝大部分都是最优化问题，用来解决这些问题的方法，如数学规划、排队论、决策分析、模拟技术等，自然也就属于最优化方法这一范畴。除此之外，最优化还包括工程控制、最优控制、系统科学等。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。

2.最优控制理论

最优控制理论是20世纪50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。苏联学者Л.С.庞特里亚金于1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼于1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优，即确定在众多的方案中什么样的方案最优及怎样找出最优方案。一个最优化策略具有这样的性质：不论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。

最优控制问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式，使空间飞行器由一个轨道转换到另一个轨道过程中的燃料消耗最少；选择一个温度的调节规律和相应的原料配比，使化工反应过程的产量最多；在工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案既能满足设计要求，又能降低成本；制定一项最合理的人口政策，使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。

在经济生产、决策规划中，最优控制理论的应用更为普遍。例如，在资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；在原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；在城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳产，发挥地区优势；在军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局等。

1.3.4 随机控制理论概述

1.随机过程

随机过程是一连串随机事件的动态关系的定量描述，其整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻耳兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，以及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年，维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程的一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；1934年，A.辛饮发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。

随机过程的概念很广泛，随机过程理论与其他数学分支（如位势论、微分方程、力学及复变函数论等）有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程理论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都经常被用来建立数学模型。

在研究随机过程时，人们透过表面的偶然性描述出了必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质和随机微分方程等；另一类是分析方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆栈和希尔伯特空间等。在实际研究中，常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定的作用。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引出的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义及它在概率论领域之外的应用。

随机过程的研究几乎包括概率论的全部，因此随机控制理论以概率论为理论基础，包括很多分支，如下所示。

（1）传递函数方法：即根据误差传递理论，由各初始变量的不确定性大小渐次分析计算结果的不确定性。其主要的理论根据是关于随机变量函数的方差计算理论。

（2）数值模拟方法：对于某些较复杂的模型，分析其不确定性的来源是极其困难的，而借助数值模拟方法则能比较方便地处理复杂模型中的不确定性问题。

（3）置信限区间法：从置信限与容许限的角度，借助统计分布理论，研究参数值的不确定性。

（4）回归分析方法：是数理统计中研究两个或多个随机变量间相依关系的数学模型及其性质的一个分支；随机变量间的相依关系是一个非确定性关系，它不同于普通的函数关系。

（5）随机数学方法：是在回归分析中，当(x,y)的分布未知时，估计E(yk=x)的一种方法。此时对E只做一般性的要求，而不假定其有任何特殊的数学形式，这样可以直接从样本的实际统计特征中去研究问题，避免由于模型假设与实际情况的重大差距或在选择模型的过程中所造成的不确定性，从而使其适用面更广。

2.随机控制理论

随机控制理论的目标是解决随机控制系统的分析和综合问题。维纳滤波理论和卡尔曼-布什滤波理论是随机控制理论的基础之一。随机系统指含有内部随机参数、外部随机干扰和观测噪声等随机变量的系统。随机变量不能用已知的时间函数描述，人们只能了解它的某些统计特性。自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，前者可以通过观测来确定系统的状态，后者则不能。随机系统是不确定性系统中的一种，其不确定性是由随机性引起的。严格来说，任何实际的系统都含有随机因素，但在很多情况下可以忽略这些因素。当这些因素不能被忽略时，按确定性控制理论设计的控制系统的行为就会偏离预定的设计要求，从而产生随机偏差量。

随机系统的应用很广，涉及航天、航空、航海、军事上的火力控制，工业过程的控制，经济模型的控制，乃至生物医学的控制等。例如，飞机或导弹在飞行中遇到的阵风，在空间环境中卫星姿态和轨道测量系统中的测量噪声，各种电子装置中的噪声，生产过程中的种种随机波动等，都是随机干扰和随机变量的典型例子。

随机控制理论在经济学中主要用于风险度量，如保险保费的制定，未来期望损失，常见的随机控制模型有ROSS套利定价模型、均值-方差模型。

1.3.5 系统辨识理论概述

1.系统辨识

系统辨识是指在已知或测得系统输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测得系统等价的模型。系统辨识的要素为数据、模型类和等价准则。

（1）数据：指系统过程的输入和输出数据，它是辨识的基础。

（2）模型类：指各种已知的系统过程模型集合，它是辨识时寻找模型的范围。

（3）等价准则：指系统行为相似性、系统效用等同性的识别标准，它是辨识优化的目标。辨识的实质就是按某种准则，从一组已知模型类中选择一个模型，使之能最好地拟合实际过程的动态特性。实际的观测数据中含有噪声，因此辨识建模实际上是一种实验统计的方法，所获得的模型只是与实际过程的外特性等价的一种近似描述。

系统辨识的主要内容包括以下方面。

（1）选择模型结构：根据建模的目的和对系统所了解的信息，预选模型的结构和阶数。

（2）采集数据：选择适当的试验信号，确定采样间隔和试验时间的长度，采集系统的输入/输出数据。

（3）参数估计：根据采集的数据，应用数字计算机，用递推最小二乘法或其他估计方法，离线或在线辨识，得到模型参数的估计值。

（4）模型检验：辨识得到的数学模型是否与实际系统相符，必须进行检验，通常用实验数据拟合误差（模型的计算值与实测值之差）来检验。如果检验不合格，则必须另选模型的结构和阶数，重复实验，直至合格时为止。

系统辨识是建立存在未知因素及随机干扰的不确定性系统的数学模型的一种普遍方法，因此它是随机最优控制、随机自适应控制的基础。

下面介绍一些简单的系统辨识方法。

1）神经网络系统辨识方法

网络系统辨识就是从一组模型中选择一个模型，神经网络系统辨识就是从一组模型中选择一个模型，按照某种优化准则，使之能与实际储层系统的静态特性达到最佳逼近，即对储层系统进行最优的仿真辨识。

神经网络对储层系统进行辨识是通过直接学习系统的输入/输出数据实现的。学习的目的是使所要求的误差准则函数达到最小，从而归纳出隐含在储层系统输入/输出数据中的系统特性，并以权值的形式赋予网络内部大量的连接上。这些连接上的权值在辨识中相当于模型参数，它们隐含在神经网络内部，究竟以什么样的形式表达，对外界是不可知的。只要神经网络的输出达到误差准则函数的要求，则认为神经网络已充分体现出实际储层系统的静态特性和完成了对原储层系统的辨识。神经网络系统辨识的学习机制可以通过BP算法实现。

2）最小二乘法辨识方法

最小二乘法最早是由Gauss为进行行星轨道预测的研究而提出的，现在最小二乘法已经成为用于系统参数估计的主要方法之一。与其他一些辨识方法相比，最小二乘法原理简单，易于理解和掌握，且最小二乘估计在一定条件下具有良好的统计性，因此最小二乘法得到了广泛应用。在系统辨识领域中，最小二乘法是一种得到最广泛应用的估计方法，可用于动态、静态、线性、非线性系统。

虽然最小二乘法是一种经典的、最基本的，也是应用最广泛的方法，但是最小二乘估计是非一致的，是有偏差的。为了克服它的缺陷，形成了一些以最小二乘法为基础的系统辨识方法（广义最小二乘法、辅助变量法、增广最小二乘法和广义最小二乘法），以及将一般的最小二乘法与其他方法相结合的方法（有最小二乘两步法和随机算法等）。

3）模糊辨识方法

模糊理论用模糊集合理论，从系统输入和输出的量测值来辨识系统的模糊模型，也是系统辨识的一个新的和有效的方法，在非线性系统辨识领域中有十分广泛的应用。因此，模糊辨识方法深受研究者的青睐。

模糊建模方法的主要内容可分为两个层次：第一层是模型结构的辨识；第二层是模型参数的估计。T-S模糊模型是一种经典的模糊模型，该模糊模型以局部线性化为基础，通过模糊推理的方法实现了全局的非线性。该模型具有结构简单、逼近能力强等特点，已成为模糊辨识中常用的模型。典型的模型结构的辨识方法有模糊网格法、自适应模糊网格法、模糊聚类法及模糊搜索树法等。

2.系统辨识理论

当应用现代控制理论去研究经济系统时，最重要同时也是最困难的问题莫过于建立所研究的经济系统的合适的经济数学模型。一方面，它有赖于对所研究的经济系统的运行机制的深刻的理解。另一方面，当现有的经济理论或经济方法不能解释所研究的经济系统各变量之间的关系时，可求助于系统辨识理论，即将经济系统看成一个黑箱，由其现有的输入/输出数据来建立系统的模型。一旦建立了模型，就可做出切合实际的定量分析，并可揭示经济系统各变量之间的内在联系，从而对完善和发展经济理论做出贡献。目前的系统辨识理论，无论是在系统的结构方面，还是在参数辨识方面，都已经有了一些成熟的结果，这些成果对于推进经济系统的建模方法是很有用的。

凡是需要通过实验数据确定数学模型和估计参数的场合都要利用辨识技术，辨识技术已经推广到工程和非工程的许多领域，如化学化工过程、核反应堆、电力系统、航空/航天飞行器、生物医学系统、社会经济系统、环境系统、生态系统等。适应控制系统则是辨识与控制相结合的一个范例，也是辨识在控制系统中的应用。自1967年以来，国际自动控制联合会（IFAC）已多次召开辨识与参数估计的专题会议。迄今为止，系统辨识已在模型结构阶数的辨识和参数估计方面取得了许多成果。系统辨识不仅应用于航天、航空、航海、工业生产过程中，而且在经济管理、生物医学、气象水文、环境工程和社会系统等领域中也得到了广泛应用。