1.1 矢量代数和矢量函数

1. 矢量

物理学中有两类量最常用：一类是仅需用数值和单位（合称量值）表示其大小的量，叫标量，如长度、时间、质量、温度、能量等都是标量；另一类是既需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，如力、速度、加速度、动量、角动量等都是矢量。我们在这里用带箭头的字母（例如等）或黑斜体字母（如A、D等）表示矢量。矢量的大小又称矢量的模，并用A或表示。

2. 矢量加减运算

两矢量相加可按图1.1-1的方法求和。由此可见相加的结果与相加的顺序无关，从而矢量加法服从交换律

当有三个矢量相加时，容易看出，矢量加法服从结合律

两矢量相减时，如A-B，可先取B的负矢量，即和B大小相同方向相反的矢量-B，然后和A相加，如图1.1-2所示。

3. 单位矢量和分矢量

一个矢量A乘以一个正标量m得到一个新矢量，它与A同方向，但大小为A的m倍，即mA。单位矢量是大小为1的矢量，如A的单位矢量表示为A0。这样，一个矢量可以用该矢量方向上的单位矢量和该矢量的大小相乘得到，即

任一矢量可以分解为几个矢量，它们的和就是这个矢量。特别是可以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量。例如，在笛卡儿坐标系（直角坐标系）中，矢量A可以分解为

式中，ex，ey，ez为坐标轴方向的单位矢量。

4. 两矢量的标量积

矢量A和矢量B的标量积（也称点乘）记为A·B。标量积是一个标量，有

式中，θ是矢量A和B矢量的夹角。

若将矢量A和B矢量用直角坐标系方法表示，则有

两矢量的标量积满足交换律和分配律

5. 两矢量的矢量积

矢量A和矢量B的矢量积（也称叉乘）记为A ×B。矢量积是一个矢量，它的大小等于ABsinθ，θ是矢量A和矢量B的夹角；其方向垂直于矢量A和矢量B所决定的平面，并且满足右手螺旋定则。如图1.1-3所示。

两矢量的矢量积不服从交换律，但满足分配律

若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示，则有

6. 三矢量相乘

三矢量相乘有三种形式，即

（1）第一种是A（B·C），这只是一个标量B·C和矢量A的乘积，乘积是和矢量A同一个方向的矢量。

（2）第二种是所谓的三重标量积，如A·B × C，它表示要先求矢量积，然后求标量积，其结果为一个标量，即为平行六面体的体积。如图1.1-4所示。故有

（3）第三种是所谓的三重矢量积，即A×（B×C），括号表示需要先进行运算。其具有如下性质

7. 矢量函数与矢量线

（1）标量函数与矢量函数

具有确定数值的标量可以是空间坐标（如直角坐标系中的x、y、z）和时间t的函数，我们称为f（x，y，z；t）标量函数。

而有确定方向的物理量的矢量，一般都是一个或几个（标量）变量的函数，称F（x，y，z；t）为矢量函数。例如：

一个矢量函数F（x，y，z；t）对应三个标量函数Fx（x，y，z；t）、Fy（x，y，z；t）、Fz（x，y，z；t）。

如果f或F的物理状态与时间无关，则它代表静态场；如果是时间的函数，则称为动态场或时变场。

描述物理状态空间分布的标量函数f（x，y，z；t）和矢量函数F（x，y，z；t），在时间是一定值的情况下，它们是唯一的，它们的数值和方向与所选择的坐标系无关。即使进行坐标系变换，它们也保持不变。这就是矢量和矢量场的不变特性。即

大小和方向都保持不变的矢量称为常矢，如ax；反之称为变矢，如aφ。

矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是一个矢量。

（2）矢量线（力线）

为了形象地描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概念。矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向。矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。所以矢量线充满了整个矢量所在空间。

电力线、磁力线就是电场和磁场中的矢量线。

由矢量线定义可知，其上任一点的切向长度元dl与该点矢量场A的方向平行，于是

直角坐标系中

dl=exdx+eydy+ezdz

A=exAx+eyAy+ezAz

由

可得

这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。