线性代数选讲

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前言

第一讲 行列式的计算

1.1 重要的定理与公式

1.2 利用行列式的定义计算行列式

1.3 计算行列式的基本方法

1.4 抽象行列式的计算

习题一

第二讲 矩阵

2.1 矩阵乘法及可交换性

2.2 矩阵的方幂与多项式

2.3 可逆矩阵

2.4 矩阵方程

习题二

第三讲 分块矩阵的初等变换及其应用

3.1 分块矩阵的初等变换

3.2 在逆矩阵中的应用

3.3 在行列式中的应用

习题三

第四讲 矩阵的秩

4.1 矩阵秩的概念与性质

4.2 矩阵秩的求法

4.3 矩阵秩的等式与不等式的证明

4.4 用线性方程组理论解决矩阵秩的问题

4.5 矩阵多项式的秩

习题四

第五讲 秩为1矩阵的性质及应用

习题五

第六讲 线性方程组

6.1 含参数的线性方程组的解法

6.2 两个线性方程组同解的判定

6.3 求两个线性方程组的公共解

6.4 抽象线性方程组的求解与证明

习题六

第七讲 几种重要的特殊矩阵

7.1 对称矩阵与反对称矩阵

7.2 正交矩阵

7.3 幂等矩阵与对合矩阵

7.4 幂零矩阵

7.5 循环矩阵

习题七

第八讲 矩阵分解

8.1 矩阵的秩分解

8.2 矩阵的满秩分解

8.3 矩阵的LU分解

8.4 矩阵的QR分解与C h oles k y分解

8.5 矩阵的奇异值分解

8.6 矩阵的谱分解

8.7 矩阵的其他分解

习题八

第九讲 微小摄动法及其应用

习题九

第十讲 矩阵的迹

习题十

第十一讲 线性空间与线性变换

11.1 线性空间

11.2 线性变换

习题十一

第十二讲 矩阵的特征值与特征向量

习题十二

第十三讲 矩阵的相似与可对角化

13.1 元素已知矩阵的相似与可对角化的判定和计算

13.2 抽象矩阵相似与可对角化的判定

13.3 矩阵可同时对角化

习题十三

第十四讲 矩阵的特征多项式及最小多项式

习题十四

第十五讲 二次型与正定矩阵

15.1 二次型的标准形

15.2 正定二次型与正定矩阵

习题十五

第十六讲 欧氏空间

16.1 欧氏空间概念与性质

16.2 正交变换与对称变换

习题十六

第十七讲 酉矩阵、埃尔米特矩阵与正规矩阵

习题十七

第十八讲 中国剩余定理及其应用

习题十八

附录A 符号与约定